Taylor 公式
若在可导(可微), 则有
- 结论 当在附近,可用的一次多项式近似, 误差是
Proof
设
当时,有
又因为
当时,有
同理可得:
- 问题 若在处阶可导, 当在附近, 是否可用的次多项式(何形式)近似, 误差是?
Taylor 定理
设 在处阶可导, 则
运用次 L'Hôpital 法则:
由于
因此,原式
由阶导数的定义:
Taylor 多项式的唯一性
当在处阶可导,且
则为 Taylor 系数,即
- 证明:
Proof
令(其中)
根据 Taylor 定理:
相减得到:
即:
令得到
从而:
令得到
以此类推:
- 问题 用近似 , 误差为 ——定性误差估计式, 是否有定量误差估计式呢?
余项的表示与估计
设,函数在内阶可导,则对于任意,存在介于与之间,使得:
上述公式称为在点的带 Lagrange 型余项的阶 Taylor 公式,称为 #Lagrange余项 。
- 当时,得到 Lagrange 公式:
- 证明:
Analysis
由
联想到柯西不等式,令,。由于和在处函数值相等:
Proof
类推次:
推论:若对于所有,有,则余项满足:
- 由于
- : 附近容易逼近,容易控制误差
- 次方: 远处也可以逼近,只要足够大
Maclaurin 公式
当时,Taylor 公式称为 Maclaurin 公式,即
- 意义: 在附近刻画原式
- 使用:
- 化简:写到低次幂不抵消为止
- 本质:忽略某些高阶无穷小
常见函数的 Maclaurin 公式
- 的 Maclaurin 公式:
- 的 阶 Maclaurin 公式:
- 的 阶 Maclaurin 公式:
- 的 Maclaurin 公式:
- 的 Maclaurin 公式:
Tips: 若为自然数,则时 , 上式变为 #二项式定理
- 的 Maclaurin 公式:
Solution
间接法:不直接求Maclaurin系数
Analysis
三角平方->三角函数的公式
利用函数的展开式计算极限
Analysis
若使用 #LHospital法则 求导过程麻烦
故使用 #Maclaurin公式 化简
Solution
故答案为
=>本质:忽略某些高阶无穷小
当时, 求无穷小对的阶
Tips
写到低次幂不抵消为止
Solution
-
-
-
代入:
可见,此时三阶已经无法抵消
对为三阶
Given that . Find out .
Solution
也为
由 #Taylor多项式/唯一性
设 在 上二阶可导,,且,有 。证明:
Tips
不建议在0/1展开,不好控制
=>在展开
Solution
在展开
注意到
分别乘以
Proof
取:
反证法:令,其中,取(且):
是整数
由于,因此为整数。
因此,为整数。
但是,不是整数,产生矛盾
Solution
即
取即可